积分区间的对称性

$$ \int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx \\ \int_0^{2a}f(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(2a-x)]dx \\ \int_a^bf(x)dx=\int_a^{\frac {a+b}2}[f(x)+f(b-x)]dx $$

三角函数的对称性

$$ \int^\pi_0xf(sinx)dx=\pi\int^{\frac \pi2}_0xf(sinx)dx \\ \int_0^{\frac \pi2}sinx^ndx=\int_0^{\frac \pi2}cosxdx= \begin{cases} \cfrac {(n-1)!!}{n!!}, &if\ n\ is\ even\\ \cfrac {\pi}2· \cfrac {(n-1)!!}{n!!}, &if\ n\ is\ odd \end{cases} $$

从而我们可以得到

$$ \int^{2\pi}_0sin^nxdx=\int^{2\pi}_0cos^nxdx= \begin{cases} 0, &if\ n\ is\ even\\ 4·(-1)^nI_n, &if\ n\ is\ odd\\ \end{cases} \\ \int^\pi_0sin^nxdx=2\int_0^{\frac \pi2}sinx^ndx\\ \int^\pi_0cos^nxdx=2·(-1)^n\int_0^{\frac \pi2}sinx^ndx\\ $$

特殊地

$$ \int^{2\pi}_0sin^2xdx=\int^{2\pi}_0cos^2xdx=\frac \pi4\\ \int^{2\pi}_0sin^3xdx=\int^{2\pi}_0cos^3xdx=0 $$