Matlab 特殊矩阵
通用特殊矩阵
zeros产生零矩阵。zeros(m)产生 mxm 方阵zeros(m, n)产生 mxn 矩阵zeros(size(A))生成与 A 矩阵同型的零矩阵
ones产生元素全为1的矩阵。eye产生对角线元素为1的矩阵。特别地，当矩阵是方阵时，得到一个方阵。rand产生元素在（0,1）区间随机分布的矩阵。randn产生元素满足标准正态分布N(0,1)的随机矩阵。
例如求元素为且满足正态分布N(0.6,0.1²)
提示：若X~N(0,1)，那么σX+μ~N(μ,σ²)
>> A = 0.6 + sqrt(0.1) * randn(5)
A =
0.3269 1.0847 0.2556 0.6272 0.4053
0.6245 0.3566 0.6103 0.1283 0.8366
0.2161 0.7174 0.7747 0.3653 0.5392
0.2479 0.5287 0.9480 0.2643 0.8810
0.5978 0.9533 1.0883 1.3433 0.3581专门学科的特殊矩阵
魔方矩阵
魔方矩阵每行每列以及主副对角线的值相等且为
$$ \frac1n \sum_i^{n^2}{i}=\frac{n+n^3}2 $$
在matlab中可用 magic 函数产生一个特定的魔方矩阵
>> magic(5)
ans =
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9范德蒙矩阵
对于向量 $v=[v_1, v_2, ...,v_n]$ 可产生矩阵
$$ \begin{aligned} A= & \\ &\begin{matrix} v_1^{n-1}&\cdots&v_1^2 &v_1 &1 \\ v_2^{n-2}&\cdots&v_2^2 &v_2 &1 \\ \vdots &\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ v_n^{n-2}&\cdots&v_n^2 &v_n &1 \end{matrix} \end{aligned} $$
在matlab中，可使用vander 函数产生范德蒙矩阵。
>> vander([1:5])
ans =
1 1 1 1 1
16 8 4 2 1
81 27 9 3 1
256 64 16 4 1
625 125 25 5 1希尔伯特矩阵
$$ \begin{aligned} H= & \\ &\begin{matrix} 1 &\frac12 &\cdots&\frac1n\\ \frac12&\frac13 &\cdots&\frac1{n+1}\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ \frac1n&\frac1{1+n}&\cdots&\frac1{2n-1} \end{matrix} \end{aligned} $$
>> format rat
>> H = hilb(4)
H =
1 1/2 1/3 1/4
1/2 1/3 1/4 1/5
1/3 1/4 1/5 1/6
1/4 1/5 1/6 1/7 多项式伴随矩阵
多项式 $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ 的多项式伴随矩阵是：
$$ \begin{aligned} A= & \\ & \left( \begin{matrix} {a_{n-1}}/ {a_n} & {a_{n-2}} / {a_{n-1}} & {a_{n-3}} /{a_{n-2}} & \cdots & {a_2} / {a_1} & {a_1} / {a_0} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned} $$
>> compan([1,-2,3,5])
ans =
2 -3 -5
1 0 0
0 1 0 伴随矩阵的特征值为多项式 $p(x)=0$ 的根
帕斯卡矩阵
>> p = pascal(5)
p =
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 70
>> inv(p)
ans =
5 -10 10 -5 1
-10 30 -35 19 -4
10 -35 46 -27 6
-5 19 -27 17 -4
1 -4 6 -4 1